Question

如图，已知△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

Answer

见解析

【解析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．

（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE，

∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 

在△AEF和△DEC中，

∠AFE=∠DCE，AE=DE，∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD；

（2）当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形．

 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， 

∴四边形AFBD是平行四边形， 

∵AB=AC，BD=CD，

 ∴∠ADB=90°， 

∴□AFBD是矩形． 

“点睛”本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．