Question

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②作直线MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）当∠ACB90°，BC6，AB10，求四边形ADCE的面积．

Answer

（1）证明：由作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线，

∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。

又∵CE∥AB，∴∠ADO =∠CEO。

∴△AOD≌△COE（AAS）。∴OD=OE。∴四边形ADCE是菱形。

（2）【解析】
当∠ACB=90°时，

由（1）知AC⊥DE，∴OD∥BC。

∴△ADO∽△ABC。∴。

又∵BC=6，∴OD=3。

又∵△ADC的周长为18，∴AD+AO=9， 即AD=9﹣AO。

∴，解得AO=4

∴。

【解析】试题分析：（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，进而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形；

（2）利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积

（1）证明：由题意，得是的垂直平分线，

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴四边形是平行四边形

∵

∴四边形是菱形 6分

（2）【解析】
∵

由勾股定理得AC=8,

考点：；菱形的性质和三角形中位线定理