Question

如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝6．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设运动的时间为t秒（）．

（1）当t=      时，等边△EFG的边FG恰好经过点C时；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）t＝2；

（2）当0≤t＜2时，S= 4t＋16；当2≤t＜6时，S= t 2+6t＋；当6≤t＜8时，S= －8t＋80；当8≤t＜12时，S=t2－24t＋144；

（3）存在5个这样的值，使△AOH是等腰三角形，即： t=6－2或t=6＋2或t=4或t=8或t=0．

【解析】试题分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=6-t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t<2，2≤t<6，6≤t<8，8≤t<12四种情况，分别写出函数关系式；（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=6，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．

试题解析：(1)当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=6−t，

在Rt△CBF中，BC=2，

∴tan∠CFB=，

∴tan60°=，

∴=，

∴t=4，

∴当边FG恰好经过点C时，时间为t=4，

(2)如图1，

过点M作MN⊥AB，

①当0⩽t<2时，如图1，

∵tan60°===，

∴NE=4，

∵EB=6+t，NB=6+t−4=2+t，

∴MC=2+t，

∴S= (MC+EB)×BC= (2+t+6+t)×4=4t+16；

②当2⩽t<6时，如图2，

∵MN=4，EF=OP=12，

∴GH=12×=6，

∴ =，

∴MK=4，

∵EB=6+t,BF=6−t,BQ=，

∴BQ= (6−t),CQ=4−BQ=t−2.

∴S=S梯形MKFE−S△QBF= (MK+EF)×MN−BF×BQ==−t 2+6t+14；

③如图3，

当6⩽t<8时，

∵MN=4,EF=12−2(t−6)=24−2t，

∴GH=(24−2t)×= (12−t)，

∴ =，

∴MK=16−2t，

∴S= (MK+EF)×MN= (16−2t+24−2t)×4=−8t+80；

④如图4，

当8⩽t<12时，

∵EF=24−2t,高为：EF×sin60°=EF= (24−2t)

S=EF×EF= (24−2t) 2 =t2−24t+144

(3)存在，理由如下：

在Rt△ABC中,tan∠CAB= =，

∴∠CAB=30°.

又∵∠HEO=60°，

∴∠HAE=∠AHE=30°.

∴AE=HE=6−t或t−6.  

(Ⅰ)当AH=AO=6时，如图5，

过点E作EM⊥AH于M,则AM=AH=3.

在Rt△AME中,cos∠MAE=，

∴AE=2，

即6−t=2或t−6=2,t=6−2或6+2.

(Ⅱ)当HA=HO时，如图6，

则∠HOA=∠HAO=30°，

又∵∠HEO=60°，

∴∠EHO=90°.

∴EO=2HE=2AE.

又∵AE+EO=6，

∴AE+2AE=6.

∴AE=2.

即6−t=2或t−6=2，

t=4或8.

(Ⅲ)当OH=OA时，如图7，

则∠OHA=∠OAH=30°，

∴∠HOB=60°=∠HEB.

∴点E和O重合，

∴AE=6.

即6−t=6或t−6=6，

t=12(舍去)或t=0.

综上所述,存在5个这样的值,使△AOH是等腰三角形,即：t=6−2或t=6+2或t=4或t=8或t=0.

点睛：几何图形中的动点问题,是代数的方程知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要求有运动的观点,搞清点的运动特性,对动态问题作静态分析,解答时要注意以下几点:(1)将与求解有关的线段用含未知数的代数式表示出来;(2)明确几何题与代数题不是截然分开的,解题时要有数形结合的思想;(3)考虑到方程的解应符合实际意义,所以在求出方程的解后,要结合条件进行合理的取舍.对于动点类的题目,解题的关键在于抓住运动图形的特殊位置,临界位置及其特殊性质,解决此类问题的基本方法是从运动与变化的角度来观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,此类题目常需借助函数或方程解答.