Question

如图，△ABC是等边三角形，点A坐标为(-8，0)、点B坐标为(8，0)，点C在y轴的正半轴上．一条动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线交于点D，与线段BC交于点E．以DE为边向左侧作等边△DEF，EF与y轴的交点为G．当点D与点E重合时，直线l停止运动，设直线l的运动时间为t秒(t >0)．

（1）填空：点C的坐标为_____，四边形ODEG的形状一定是_____；

（2）请用t 的代数式表示线段DE 的长；

（3）试探究：四边形ODEG能不能是菱形？若能，求出相应的t的值；若不能，请说明理由．

（4）当t为何值时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上？并求出此时⊙M的半径．

Answer

（1） (0，)，平行四边形；（2）DE=；（3）能，t=4； （4）t=3，r=；

【解析】试题分析：（1）设l与x轴交于点P，由△ABC是等边三角形，点A坐标为（-8，0）、点B坐标为（8，0），易求得OC的长，即可求得点C的坐标，由直线l与直线y=x交于点D且△DEF是等边三角形，可证得GE∥OD，又由l∥y轴，可得四边形ODEG是平行四边形；

（2）用待定系数法求得直线BC的解析式，则可求得点D与E的坐标，即可求得DE的长；

（3）当OD=DE时，四边形ODEG是菱形，可得方程 t=8 - ,解此方程即可求得答案；

（4）连接DG，当∠DGE=90°时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上，可得点G是EF的中点，易得当OD=DE时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上，即可得方程 t= （8 -）解此方程即可求得答案．

试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵∠BOC=90°，∴tan∠OBC== ，∵OB=8，∴OC=8 ，∴C（0，8 ）；

由题意可得M（t,0）,∴D（t, t）,∵tan∠ODM= ，∴∠ODM=60°，∵∠DEF=60°，∴EF//OD，∵l//y轴，∴四边形ODEG是平行四边形；

（2）∵B（8，0），C（0，8 ），∴yBC =- ,∴E（t, -），D（t, t），∴EP=-，DP= t ，∴DE=8 -；

（3）当OD=DE时，四边形ODEG是菱形，由（1）可得OD= ，∴=8 ，解得t=4；

（4）连接DG，当∠DGE=90°时，点G恰好落在以DE为直径的⊙M上，∴点G是EF的中点，∴EG= DE，又∵EG=OD，∴OD= DE，即 t= （8 -），解得t=3,∴DE=4 ，∴半径r=.

点睛：本题主要考查等边三角形、三角函数、一次函数、平行四边形、菱形、一元一次方程等知识，能正确地根据题意确定出DE长、OD与DE的关系是解决问题的关键.