Question

已知抛物线的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．

（1）求该抛物线对应的函数的解析式；

（2）将该抛物线向下平移m(m>0)个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形．

①求m的值；

②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）; （2）①m=3;②不存在这样的点P,理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1），利用待定系数法求解即可．

（2）①先写出平移后的函数解析式，然后得出A、B、C三点的坐标，过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC为等边三角形，可得出关于m的方程，解出即可；

②求出点D坐标，分两种情况进行讨论，①PD为对角线，②PD为边，根据菱形的性质求解即可．

试题解析：

（1）由题意可得， 解得

∴抛物线对应的函数的解析式为．

（2）①将向下平移m个单位得： -m= ，可知A(1，-m)，B(1-，0)，C(1+，0)，BC=2．

由△ABC为等边三角形，得，由m＞0，解得m=3．

②不存在这样的点P．

∵点D与点A关于x轴对称，∴D（1，3）．

由①得BC=2．

要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC．

由题意，知点P的横坐标为1+2，

当x=1+2时，

-m==，

故不存在这样的点P．

点睛：本题属于二次函数的综合题，属于综合性较强的题目，应理清思路，对每一个知识点都应熟练掌握并能灵活运用，求出二次函数的解析式是解此题的关键，应熟练掌握三点式和顶点式求抛物线解析式的方法，二次函数的平移通常指的是图象的平移，应注意总结平移的规律.