Question

如图，已知在中， ,,延长到，使，以为圆心， 长为半径作⊙交延长线于点,连接．

（1）求证： 是⊙的切线；

（2）若,求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；

（2）阴影部分的面积为

【解析】分析：（1）连接OD，求出∠OAD=60°，得出等边三角形OAD，求出AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，求出∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，求出∠ODC=90°，根据切线的判定得出即可；

（2）求出OD，根据勾股定理求出CD长，分别求出三角形ODC和扇形AOD的面积，相减即可．

本题解析：（1）证明：连接OD，

∵∠BCA=90°，∠B=30°，∴∠OAD=∠BAAC=60°，

∵OD=OA，∴△OAD是等边三角形，∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，

∴∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，∴∠ODC=60°+30°=90°，即OD⊥DC，

∵OD为半径，∴CD是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，∴OD=OA=AC=AB=2，

由勾股定理得：CD=，

∴S阴影=S△ODC﹣S扇形AOD=﹣= ．