Question

已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣4，0），B点坐标为（6，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为．

  （1）求抛物线的解析式；

  （2）如图①，将△ADE以DE为轴翻折，点A的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；

  （3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）（﹣1， ）或（﹣1， ）；（3）F（﹣1，4）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．

【解析】试题分析：（1）把点A，B的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可．

（2）作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（﹣1，n），由翻折的性质，得到BD=DG；然后求出点D、点M的坐标，以及BC、BD的值；在Rt△GDM中，由勾股定理，求出n的值，即可求出G点的坐标．

（3）分三种情况讨论：①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时；②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时；③当CE∥DF时；然后根据平行四边形的性质，求出点F的坐标各是多少即可．

试题解析：（1）∵抛物线经过点A（﹣6，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线的解析式是： ；

（2）如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，

，

设G点的坐标为（﹣1，n），由翻折的性质，可得BD=DG，∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，∴点D的坐标是（2，4），∴点M的坐标是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3，∵B（4，0），C（0，8），∴BC==，∴BD=，在Rt△GDM中，32+（4﹣n）2=20，解得n=，∴G点的坐标为（﹣1， ）或（﹣1， ）；

（3）抛物线的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．

①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②，

，

由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），则，解得，∴点F的坐标是（﹣1，4），点C的坐标是（1，0）；

②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③，

，

由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），则，解得，∴点F的坐标是（﹣1，﹣4），点C的坐标是（﹣3，0）；

③当CE∥DF时，如图④，

，

由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），

则，解得： ，∴点F的坐标是（﹣1，12），点C的坐标是（3，0）；

综上，可得抛物线的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．

考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．平行四边形的判定与性质；4．存在型；5．翻折变换（折叠问题）综合题；6．压轴题．