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已知菱形ABCD边长为6,E是BC的中点,AE、BD相交于点P. (1)如图1,...

已知菱形ABCD边长为6,E是BC的中点,AE、BD相交于点P.

(1)如图1,当∠ABC=90°时,求BP的长;

(2)如图2,当∠ABC角度在改变时,BP的中垂线与边BC的交点F的位置是否发生变化?如果不变,请求出BF的长;如果改变,请说明理由;

(3)当∠ABC从90°逐步减少到30°的过程中,求P点经过路线长.

 

(1)BP=;(2)点F的位置不发生改变,BF=2;(3)P的路径长为. 【解析】(1)当∠ABC=90°时,菱形ABCD成为正方形; ∵E是BC的中点,BC=6, ∴BE=3.由勾股定理得 , , , , , . (2)∵当∠ABC角度在改变时,始终有MF∥AC, . ∵BN,BO,BC始终不变, ∴点F的位置不发生改变. 垂直平分 , , . (3)点P经过的路线是以点P为圆心,以NP为半径,圆心角为60°的一段扇形. 所以路线长为 .  
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考点分析:
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在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点,例如,点(1,1),(﹣ 2,﹣ 2),( ),…,都是梦之点,显然梦之点有无数个.

(1)若点 P(2,b)是反比例函数 (n 为常数,n ≠ 0) 的图象上的梦之点,求这个反比例函数解析式;

(2)⊙ O 的半径是

①求出⊙ O 上的所有梦之点的坐标;

②已知点 M(m,3),点 Q 是(1)中反比例函数 图象上异于点 P 的梦之点,过点Q 的直线 l 与 y 轴交于点 A,tan∠OAQ= 1.若在⊙ O 上存在一点 N,使得直线 MN ∥ l或 MN ⊥ l,求出 m 的取值范围.

 

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如图,在△ABC中,点D为BC上一点,过A,B,D三点作⊙O,AE是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,AD=DC,连结DE.

(1)求证:AB=AC;

(2)若,AC=,求△ADE的周长.

 

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几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:

小芳:今天看演出,如果我们每人一张票,会差两张票的钱.

小明:过两天就是“儿童节”了,到时票价会打六折,我们每人一张票,还能剩72元钱呢!

根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.

 

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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点DF分别在ABAC上,CF=CB,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF

1)求证:△BCD≌△FCE

2)若EF∥CD,求∠BDC的度数.

 

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江苏卫视《最强大脑》曾播出一期“辨脸识人”节目,参赛选手以家庭为单位,每组家庭由爸爸妈妈和宝宝3人组成,爸爸、妈妈和宝宝分散在三块区域,选手需在宝宝中选一个宝宝,然后分别在爸爸区域和妈妈区域中正确找出这个宝宝的父母,不考虑其他因素,仅从数学角度思考,已知在本期比赛中有A、B、C三组家庭进行比赛.

(1)若机器人智能小度选择A组家庭的宝宝,求小度在妈妈区域中正确找出其妈妈的概率;

(2)如果任选一个宝宝(假如选A组家庭),通过列表或树状图的方法,求机器人智能小度至少正确找对宝宝父母其中一人的概率.

 

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