Question

在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（， ），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．

（1）若点 P（2，b）是反比例函数 (n 为常数，n ≠ 0) 的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；

（2）⊙ O 的半径是 ，

①求出⊙ O 上的所有梦之点的坐标；

②已知点 M（m，3），点 Q 是（1）中反比例函数 图象上异于点 P 的梦之点，过点Q 的直线 l 与 y 轴交于点 A，tan∠OAQ＝ 1．若在⊙ O 上存在一点 N，使得直线 MN ∥ l或 MN ⊥ l，求出 m 的取值范围．

Answer

（1）反比例函数解析式为；

（2）①⊙ O 上的所有梦之点的坐标为（1,1）或（-1,-1）；②m 的取值范围是-5≤m≤-1或1≤m≤5.

【解析】试题分析：（1）由梦之点坐标特点可得b=2,再将P坐标代入中，即可求得n的值；（2）①设⊙O上梦之点坐标是（a,a），由圆的半径是得：

则a=1或a=-1，所以⊙O上所有梦之点坐标是（1,1）或（-1,-1）；② 由（1）可得，异于点P的梦之点是（-2,-2），设直线MN为y=-x+b，求得m的取值范围；当直线MN为y=x+b时，求得m的取值范围；

试题解析：

【解析】
(1) ∵P（2,b）是梦之点

∴b=2

∴P（2,2）

将P（2,2） 代入 中得n=4

∴反比例函数解析式是

(2) ①∵⊙O的半径是

设⊙O上梦之点坐标是（a,a）

∴

∴

a=1或a=-1

∴⊙O上所有梦之点坐标是（1,1）或（-1,-1）

②由(1)知，异于点P的梦之点是（-2,-2）

∵tan∠OAQ=1

∴∠OAQ==45°

由已知MN∥l或MN⊥l，如图所示：

∴直线MN为y=-x+b或y=x+b

当MN为y=-x+b时，m=b-3

由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时，

且切点在第四 象限时，b取得最小值，

此时MN 记为 ，

其中 为切点， 为直线与y轴的交点。

∵△O 为等要直角三角形，

∴O = ∴O=2

∴b的最小值是-2，

∴m的最小值是-5

当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，

b取得最大值，此时MN 记为 ，

其中 为切点， 为直线与y轴的交点。

同理可得，b的最大值为2，m的最大值为-1.

∴m的取值范围为-5≤m≤-1

当直线MN为y=x+b时，

同理可得，m的取值范围为1≤m≤5，

综上所述，m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5.