Question

如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6、8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为（       ）

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

Answer

A

【解析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，

即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，

∴AC∥MQ，

∵M为BC中点，

∴Q为AB中点，

∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，

∴BQ∥CD，BQ=CN，

∴四边形BQNC是平行四边形，

∴NQ=BC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CP=12AC=3,BP=12BD=4，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，

即NQ=5，

∴MP+NP=QP+NP=QN=5，

故答案为：A.

点睛：此题是通过“两点之间，线段最短”进行求解，是典型的“将军饮马”问题及其变式.其核心是考查学生对“两点之间，线段最短”这一公理的理解与应用.将军饮马问题及其变式首先都要通过对称或平移将其转化成两个定点为端点,动点在中间的折线,然后根据“两点之间，线段最短”求出其最小值.