Question

在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D.

（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；

（2）若点P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF,求证：四边形ABCD是菱形.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质和平行四边形的判定证明即可；

（2）根据角平分线的性质和菱形的判定证明即可．

试题解析：（1）∵AB∥CD，

∴∠DCA=∠BAC，

在△ADC与△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC（AAS），

∴AB=DC，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠DAB=∠DCB，

∵PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF，

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA，

∴AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形．

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判定方法有五多种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．