Question

将抛物线c₁： 沿x轴翻折，得到抛物线c₂，如图1所示．

(1)请直接写出抛物线c₂的表达式；

(2)现将抛物线c₁向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c₂向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）①2，1/2，②是矩形，m＝1

【解析】试题分析：因为二次函数的图像关于x轴对称时，函数中的a,c,互为相反数，b值不变，函数向左平移时，纵坐标不变，横坐标均减少平移个单位，可假定成立，由直角三角形性质得到验证。【解析】
（1）抛物线c2的表达式是； 2分；

（2）①点A的坐标是（，0）， 3分；

点E的坐标是（，0）. 4分；

②假设在平移过程中，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形.

由题意得只能是.

过点M作MG⊥x轴于点G.

由平移得：

点M的坐标是（， ）， 5分；

∴点G的坐标是（，0），

∴， ，

，

在Rt△AGM中，

∵ tan，

∴， 6分；

∵，

∴，

∴tan，

∴， 7分；

∴. 8分.

所以在平移过程中，当时，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形.

考点：二次函数的图像与性质，直角三角形的性质。函数图像翻折时，解析式的系数的变换。