Question

如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系      ；

（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）AF=AE；

（2）AF=AE，证明见解析.

【解析】【解析】
（1）如图①中，∵四边形ABFD是平行四边形，

∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，

∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=AE．

（2）如图②中，连接EF，DF交BC于K．

∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，

∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，

∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，

∵∠DKC=∠C，∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD， 在△EKF和△EDA中，

，

∴△EKF≌△EDA， ∴EF=EA，∠KEF=∠AED，

∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．