Question

如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．

（1）求点P与点P′之间的距离；

（2）求∠APB的度数．

Answer

（1）6；（2）150°．

【解析】试题分析：（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋转角∠P′AP=∠BAC=60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′；

（2）由△APP′为等边三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度数．

【解析】
（1）连接PP′，由题意可知BP′=PC=10，AP′=AP，

∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，

所以∠PAP′=60度．故△APP′为等边三角形，

所以PP′=AP=AP′=6；

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

PP′2+BP2=BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°

可求∠APB=90°+60°=150°．

考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理．