Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（－1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．

（1）求二次函数解析式及顶点坐标；

（2）点P为线段BD上一点，若S△BCP=，求点P的坐标；

（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer

（1）y=x ²2x﹣3，D（1， 4）；（2）P（2，-2）（3）点M的坐标（5，12）或（， ）．

【解析】【解析】
（1）把A（1，0）和B（3，0）两点代入抛物线y=x ²+bx+c中得：

，解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=x ²2x﹣3=（x1）²4，

∴D（1， 4），………………4分

（2）C（0， 3），由勾股定理得：BC ²=3 ²+3 ²=18，

CD ²=1 ²+（4﹣3）²=2，

BD ²=（3﹣1）²+4 ²=20，

∴CD ²+BC ²=BD ²，

即∠BCD=90°，

∴△BCD是直角三角形；

∴S△BCD=3

由S△BCP=，得出P为BD中点

∴P（2，-2）

（3）∵∠CMN=∠BDE，

∴tan∠BDE=tan∠CMN==，

∴，

同理可求得：CD的解析式为：y=x3，

设N（a， a3），M（x，x ²2x3），

如图2，过N作GF∥y轴，过M作MG⊥GF于G，过C作CF⊥GF于F，

则△MGN∽△NFC，

∴，

∴，则，∴x ₁=0（舍），x ₂=5，

当x=5时，x ²2x3=12，∴M（5，12），………………11分

②如图3，过N作FG∥x轴，交y轴于F，过M作MG⊥GF于G，

∴△CFN∽△NGM，

∴，

∴，则

∴x1=0（舍），x2=，当x=时，y=x22x3= ，

∴M（， ），………………13分

综上所述，点M的坐标（5，12）或（， ）．……………………………14分