Question

如图，已知正方形ABCD的边长为2，以DC为底向正方形外作等腰△DEC，连接AE，以AE为腰作等腰△AEF，使得EA=EF，且∠DEC=∠AEF．

（1）求证：△EDC∽△EAF；

（2）求DE·BF的值；

（3）连接CF、AC，当CF⊥AC时，求∠DEC的度数．

Answer

（1）证明见解析；

（2）DE·BF的值为4；

（3）∠DEC的度数为45°．

【解析】（1）先证两对对应角相等得出△EDC∽△EAF；（2）利用（1）的结论推出两边对应成比例且夹角相等得到△BAF∽△DEA，从而求出DE·BF；（3）

【解析】
（1）∵△AEF和△DEC是等腰三角形，且∠DEC=∠AEF，

∴∠EAF=

∴∠EAF=∠EDC

∴△EDC∽△EAF．

（2）由（1）得△EDC∽△EAF，

∴

∵DC=AB，∴

∵∠DEA=180°-90°-∠EDC-∠DAE=90°-∠EDC-∠DAE，

∠BAF=90°-∠EAF-∠DAE，∴∠BAF=∠DEA

∴△BAF∽△DEA，

∴．即DE·BF=DA·AB=4．

（另法：记∠DEC=∠AEF=α，

∴， ，

∴，

∴）

（3）∵DE=CE，AE=FE，∴△ADE≌△FCE

∴AD=FC=BC

∵△BAF∽△DEA，

∴∠ABF=∠EDA ， ∴∠FBC=∠CDE

∵△CBF和△EDC是等腰三角形，

∴∠BCF=∠DEC

∵CF⊥AC，∴∠ACF=90°

∵∠ACB=45°，∴∠BCF=45°

∴∠DEC=45°．

“点睛”本题考查相似三角形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质、正方形的性质，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，解题时要注意小题间的联系，有一定难度，属于中考压轴题．