Question

如图，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于点F．

（1）若EN⊥BC于点N，延长NE与AD相交于点M．求证：AM=MD；

（2）若⊙O的半径为10，且cosC =，求切线BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BF的长为15.

【解析】（1）由AB为⊙O的直径，根据同弧所对的圆周角相等证得∠C=∠NEB，继而可证得结论；（2）由AB为⊙O的直径，可得∠BDF=90°，由BF是切线，可得∠DBF=∠C，然后由三角函数的性质和勾股定理，求得BF的长．

（1）证法一：∵∠A与∠C对同弧BD，∴∠A=∠C

∵CD⊥AB于点E，∴∠CEB=90°.∴∠C+∠CBE=90°.

∵MN⊥BC，∴∠ENB=90°.∴∠NEB + ∠CBE =90°.

∴∠C=∠NEB

∵∠NEB=∠AEM，∴∠AEM=∠A.∴AM =ME.

∵∠AEM=∠A，∠MED+∠AEM=90°，

∠EDA+∠A =90°，

∴∠MED=∠EDA.∴ME=MD.∴AM =MD．

证法二：∵∠CDA与∠CBA对同弧AC，

∴∠CDA=∠CBA

∵CD⊥AB于点E，∴∠AED=90°.

∴∠MED+∠MEA=90°.

∵MN⊥BC，∴∠ENB=90°.

∴∠CBA + ∠BEN =90°.

∵∠MEA=∠BEN，∴∠MED=∠CBA.

∴∠MED=∠CDA.∴ME=MD.

∵∠MED+∠AEM=90°，∠CDA+∠A =90°，

∴∠AEM =∠A.∴AM=ME.∴AM =MD．

（2）【解析】
∵BF与⊙O相切于点B，∴AB⊥BF.∴∠ABF=90°.

∵∠C与∠A对同弧BD，∴∠C=∠A.∴cosA=cosC=.

∴. ∴AF=

∴．

“点睛”此题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．