Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

Answer

(1) y=x2-x-4；(2) E1（0，-4）； E2（，-）；E3（8+2， ）．(3) ;（， ）．

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）分类讨论：当CD=DE时，当EC=DE时，当CD=CE时，根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

（3）根据题意得，点P的坐标为（m， m2-m-4），根据梯形的面积公式和三角形的面积公式计算求出△BDP面积，根据二次函数的性质解答．

试题解析：（1）∵二次函数y=ax2+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，

∴，

解得，

∴该二次函数的解析式为y=x2-x-4； 

（2）在线段BC上是存在点E，使得△CDE为等腰三角形，

由二次函数y=x2-x-4可知对称轴x=3，

∴D（3，0）．

∵C（8，0），

∴CD=5．

由二次函数y=x2-x-4可知B（0，-4）．

设BC的解析式为y=kx+b，

将B、C点坐标代入，得

，

解得，

BC的解析式为y=x-4．

E在线段BC上，设E点坐标为（m， m-4）．

①当CD=DE时，即（m-3）2+（m-4）2=25，解得m1=0，m2=8（不符合题意舍去），

当m=0时， m-4=-4，

∴E1（0，-4）； 

②当EC=DE时，（m-8）2+（m-4）2=（m-3）2+（m-4）2，解得m3=，

当m=时， m-4=×-4=-，

∴E2（，-）；

 ③当CD=CE时，（m-8）2+（m-4）2=25，解得m4=8+2，m5=8-2（不符合题意舍），

当m=8+2时， m-4=，即E3（8+2， ）；

综上所述：所有符合条件的点E的坐标为E1（0，-4）； E2（，-）；E3（8+2， ）．

（3）点P的坐标为（m， m2-m-4），

y=m2-m-4=（m-3）2-，

△BDP面积=×（4-m 2+m-4）×m-×3×4-×（m-3）×（-m2+m+4）

=-m2+m=-（m-）2+，

∴当m=时，△BDP面积的最大，此时点P的坐标为（， ）．