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如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D、E分别在AC、BC上,且CD·BC=...

如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D、E分别在AC、BC上,且CD·BC=AC·CE,以E为圆心,DE长为半径作圆,⊙E经过点B,与AB、BC分别交于点F、G.

(1)求证:AC是⊙E的切线;

(2)若AF=4,CG=5,

①求⊙E的半径;

②若Rt△ABC的内切圆圆心为I,则IE             

 

(1)证明见解析;(2)①20,② 【解析】试题分析:(1)证明△CDE∽△CAB,得∠EDC=∠A=90°,所以AC是⊙E的切线; (2)①如图1,作辅助线,构建矩形AHED,设⊙E的半径为r,表示BH和EC的长,证明△BHE∽△EDC, 列比例式代入r可得结论; ②如图2,作辅助线,构建直角△IME,分别求IM和ME的值,利用勾股定理可求IE的长. 试题解析:(1)∵CD•BC=AC•CE, ∴, ∵∠DCE=∠ACB, ∴△CDE∽△CAB, ∴∠EDC=∠A=90°, ∴ED⊥AC, ∵点D在⊙E上, ∴AC是⊙E的切线; (2)①如图1,过E作EH⊥AB于H, ∴BH=FH, ∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°, ∴四边形AHED是矩形, ∴ED=AH,ED∥AB, ∴∠B=∠DEC, 设⊙E的半径为r,则EB=ED=EG=r, ∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4, EC=EG+CG=r+5, 在△BHE和△EDC中, ∵∠B=∠DEC,∠BHE=∠EDC=90°, ∴△BHE∽△EDC, ∴,即, ∴r=20, ∴⊙E的半径为20; ②如图2,过I作IM⊥BC于M,过I作IH⊥AB于H, 由①得:FH=BH=r-4=20-4=16,AB=AF+2BH=4+2×16=36, BC=2r+5=2×20+5=45, ∴AC==27, ∵I是Rt△ABC的内心, ∴IM==9, ∴AH=IM=9, ∴BH=BM=36-9=27, ∴EM=27-20=7, 在Rt△IME中,由勾股定理得:IE=.  
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