Question

如图，在菱形ABCD中，点F为对角线BD上一点，点E为AB的延长线上一点，DF=BE，CE=CF.求证：（1）△CFD≌△CEB；（2）∠CFE=60°.

Answer

（1）证明见解析；（2）∠CFE=60°.

【解析】（1）根据菱形的性质得出CD=CB，又DF=BE，CF=CE，根据SSS即可证明△CFD≌△CEB；

（2）根据全等三角形、菱形的性质得出∠ABD=∠CBD=∠CDB=∠CBE，由平角的定义求出∠ABD=∠CBD=60°，再证明∠FCE=60°，那么由CF=CE，得出△AFE是等边三角形，于是∠CFE=60°.

证明：（1）∵四边形 ABCD是菱形，∴CD=CB.

在△CFD和△CEB中， ∴△CFD≌△CEB.

（2）∵△CFD≌△CEB，∴∠CDB=CBE, ∠DCF=∠BCE.∵CD=CB，

∴∠CDB=∠CBD，∴∠ABD=∠CBD=∠CBE=60°，∴∠DCB=60°，

∴∠FCE=∠FCB+∠BCE=∠FCB+∠DCF=60°.

又CF=CE，∴△CFE为等边三角形，∴∠CFE=60°.

“点睛”本题考查了菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一般性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.也考查了全等三角形、等边三角形的判定与性质.