Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）．连接OA，

线段OA长______； (2)若在直线a上存在点P，使△AOP是以OA为腰的等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是________________．

Answer

5 （8，4）或（﹣3，4）或（﹣2，4）

【解析】∵A(3,4)，

∴OB=3，AB=4，

∴OA=，

①若AP=OA,则点P的坐标为：(8,4)或(−2,4)，

②若AP=OP,设点P的坐标为：(x,4)，

则(x−3)2=x2+42，

解得：x=，

∴点P的坐标为(,4)；

③若OA=OP,设P的坐标为(x,4)，

则x2+42=52，

解得：x=±3，

∴点P的坐标为：(−3,4)；

∴所有满足条件的点P的坐标是：(8,4)或(−2,4)或(,4)或(−3,4).

故选：D.

点睛：本题考查了坐标与图形的性质、等腰三角形的性质及两点间的距离公式.在找符合题意 的点的坐标时，分两种情况讨论：OA为等腰三角形的一条腰，OA为底边，是正确解答本题的关键.同时要注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.