Question

如图，顶点为（1，4）的抛物线与直线交于点A(2,2),直线与轴交于点B与轴交于点C

(1)求的值及抛物线的解析式

(2)P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在轴上，求点P的坐标

(3)点D为轴上方抛物线上的一点，点E为轴上一点，以A 、B、E、D为顶点的四边为平行四边形时，直接写出点E的坐标。

Answer

（1）1； ；（2）点的坐标（1，4）或；（3）或或或

【解析】试题分析：(1)、将A点坐标代入一次函数解析式得出n的值，首先设二次函数的解析式为顶点式，然后将点A坐标代入得出函数解析式；(2)、如图1.设与AC的交点为H，作HM⊥x轴于M，作与N，设出点P和点H的坐标，根据H是的中点得出m与x的关系式，根据相似得出x与m的关系，从而求出x的值，得出点P的坐标；(3)、设点坐标为A，以AB为边或对角线以及平行四边形的性质分别进行讨论，分别得出点的坐标.

试题解析：（1）A（2，2）代入得

设抛物线的解析式代入点）A（2，2），可得

所以抛物线的解析式

（2）如图1.设与AC的交点为H，作HM⊥x轴于M，作与N

设G

一方面，由于H是的中点，因此

于是得到所以整理，得 ①

另一方面，由得

所以与整理，得 ②

联立① ②解得或，所以点的坐标（1，4）如图2）或（如图3）

图1 图2 图3

(3)设点坐标为A，以AB为边或对角线进行分类讨论：

①如图4，当AB是平行四边行的边时，AB//DE,AB=DE

由于点B(0,1)先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到A(2,2),所以点D的坐标可以表示为

将代入，得

解得，此时如图5或，（如图6）

图4 图5 图6

②如图7，当AB是平行四边形的对角线时，设AB的中点，点E

关于的对称轴的坐标可以表示为

将代入，得

解得，此时如图5）或，

点睛：本题主要考查的就是待定系数法求函数解析式以及二次函数与平行四边形的综合题目，难度比较大.在解决二次函数与平行四边形问题时，我们首先需要将已知的一条边作为边和对角线两种情况分别进行讨论，从而分别求出点的坐标.在平面直角坐标系中一定要熟练掌握中点以及各点的表示方式，在设点坐标的时候一定要根据函数解析式来进行设.