Question

如图所示, 中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=1，连接DA，点P是射线DA上的动点。

(1)求证DA是⊙O的切线；

(2)DP的长度为多少时，∠BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由。

(3)点P运动的过程中，（PB+PC）的值能否达到最小，若能，求出这个最小值，若不能，说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；90°；（3）

【解析】试题分析：(1)、连接AO，根据题意得出△ABO为等边三角形，从而得出∠DAO为直角，从而得出切线；(2)、根据圆外角小于圆周角得出点P的位置；(3)、作点C关于射线DA的对称点，则,当点共线时， 的值达到最小，.过点作DC的垂线，垂足记为点H，连接，根据勾股定理的性质求出最小值，得出答案.

试题解析：(1)、连接AO，易知：

⊙o的切线；

(2)、当点P运动到A处时，即时， 的度数达到最大，为.

理由如下：若点P不在A处时，不妨设点P在DA的延长线上的时，

连接BP，与⊙o交于一点，记为点E，连接CE，则.

(3)、作点C关于射线DA的对称点，则,当点共线时， 的值达到最小，最小为.过点作DC的垂线，垂足记为点H，连接，

在所以为等边三角形，故H为DC的中点，

， ，

由勾股定理求出所以的最小值为.