Question

如图，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（0，1）．以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交y轴的负半轴于点C，射线AD交x轴的负半轴于点D．

（1）求直线AB的解析式；

（2）OD﹣OC的值是否为定值？如果是，求出它的值；如果不是，求出它的变化范围；

（3）平面内存在点P，使得A、B、C、P四点能构成菱形，

①P点坐标为      ；

②点Q是射线AC上的动点，求PQ+DQ的最小值．

Answer

【解析】
(1) y=x+1

(2) 是定值；OD-OC=8；

(3) ①（-4，-1） ②PQ+DQ的最小值为

【解析】【解析】
（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵点A（﹣4，4），点B（0，1）在直线AB上，∴ ，解得： ，∴直线AB的解析式为： ；

（2）是定值．理由如下：

过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F（如答图），可得∠AED=∠AFC=90°，又∵∠BOD=90°，∴∠EAF=90°，即∠CAE+∠CAF=90°，∵∠CAD=90°，即∠CAE+∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CAF，∵A（﹣4，4），∴OE=AF=AE=OF=4，在△AED和△AFC中，∵∠DAE=∠CAF，AE=AF，∠AED=∠AFC=90°，∴△AED≌△AFC（ASA），∴ED=FC，∴OD﹣OC=（OE+ED）﹣（FC﹣OF）=OE+OF=8，则OD﹣OC的值不发生变化，值为8；

（3）①∵菱形的对角线互相垂直，而AB和BC显然不可能垂直，∴AB和BC只能是邻边，∵AB= =5，∴BC=5，∴C（0，-4），设P（x，y），则由菱形对角线互相平分和中点坐标公式有： ， ，解得：x=-4，y=-1．∴P（-4，-1）．

②∵菱形ABCP中，B、P关于AC对称， ∴PQ=BQ， ∴（PQ+DQ）min=（BQ+DQ）min=BD

∵BC=BA=5，∴OC=4

由（2）得，OD=OC+8=12， ∴Rt△BOD中，

答：PQ+DQ的最小值为．

点睛：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，菱形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．