Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若DB平分∠ADC，AB=a， ∶DE=4∶1，写出求DE长的思路．

Answer

（1）证明见解析；（2）答案见解析

【解析】试题解析：（1）连接OD，由AC为圆O的直径，得∠ADC为直角，从而ΔCDE为直角，再由点F为CE的中点，得∠FDC=∠FCD，再由OD=OC得∠ODC=∠OCD，由∠FCD+∠OCD=90°得∠FDC+∠ODC=90°， 即DF是⊙O的切线；

（2）由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；由AB=a，求出AC的长度为；由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到；设DE为x，由∶DE=4∶1，求出.

试题解析：（1）证明：连接OD.

∵ OD=CD，

∴ ∠ODC=∠OCD.

∵ AC为⊙O的直径，

∴ ∠ADC=∠EDC=90°.

∵ 点F为CE的中点，

∴ DF=CF.

∴ ∠FDC=∠FCD.

∴ ∠FDO=∠FCO.

又∵ AC⊥CE，

∴ ∠FDO=∠FCO=90°.

∴ DF是⊙O的切线.

（2）①由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；

②AB=a，求出AC的长度为；

③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到；

④设DE为x，由∶DE=4∶1，求出.