Question

如图, 已知点A为x轴上的一动点，其坐标为（m，0）点B的坐标为（，0），在x轴上方取点C，使CB⊥x轴，且CB=2AO，点C， 关于直线对称， 交直线于点E若△BOE的面积为4，则点E的坐标为________ 

Answer

(-2,2)

【解析】

如图,设AE与CC′交于点D.

∵点A的坐标为(m,0)，在x轴上方取点C，使CB⊥x轴，且CB=2AO，

∴CB=−2m.

∵点C,C′关于直线x=m对称，

∴CD=C′D，

∵ABCD是矩形，AB=CD，

∴AB=C′D.

又∵∠BAE=∠C′DE=90∘,∠AEB=DEC′，

∴△ABE≌△DC′E，

∴AE=DE，

∴AE=AD=BC=−m.

∵△BOE的面积为4，

∴ (2−m)(−m)=4，

整理得,m2−2m−8=0，

解得m=4或−2，

∵在x轴上方取点C，

∴−2m>0，

∴m<0，

∴m=4不合题意舍去，

∵点E的坐标为(m,−m)，

∴点E的坐标为(−2,2).

故答案为(−2,2).

点睛：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积，得出AE=DE=-m是解题的关键，先根据矩形的性质与轴对称的性质得出AB=C′D，再利用AAS证明△ABE≌△DC′E，得出AE=DE=-m．根据△BOE的面积为4，列出方程（2-m）（-m）=4，解方程即可．