Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E.

（1）求证：四边形ADBE是矩形；

（2）连接DE，交AB于点O，若BC=8，AO=，求cos∠AED的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）cos∠ABD=.

【解析】试题分析：(1)已知AE∥BC，BE∥AD，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形可得四边形ADBE是平行四边形，再根据等腰三角形的三线合一可判定∠ADB=90°，即可得四边形ADCE为矩形；（2）已知在矩形ADCE中, AO=,根据矩形的性质可得

DE=AB= 5；根据D是BC的中点，可得AE=DB=4，在Rt△ABD中，即可得cos∠ABD=.

试题解析：

证明：(1)∵AE∥BC，BE∥AD,

∴四边形ADBE是平行四边形.

∵AB=AC，AD是BC边的中线，

∴AD⊥BC.

即∠ADB=90°.

∴四边形ADCE为矩形.

（2）∵在矩形ADCE中, AO=,

∴DE=AB= 5.

∵D是BC的中点，

∴AE=DB=4

∴在Rt△ABD中，cos∠ABD=.