Question

如图所示，已知□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1）四边形ABCD是菱形吗？请说明理由；

（2）若∠AED=2∠EAD，试说明四边形ABCD是正方形．

Answer

（1）四边形ABCD是菱形，理由见解析;（2）理由见解析.

【解析】分析:(1)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC(三线合一)，即AC⊥BD.∴四边形ABCD是菱形；

(2)根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠DAO=∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=2∠ADO=90°，∴四边形ABCD是正方形．

【解析】
（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，即O是AC的中点.

∵△ACE是等边三角形． ∴OE⊥AC， ∴BD⊥AC， ∴□ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO

∵△ACE是等边三角形 ∴∠AEC=∠EAC=60°，∠AED=30°，

∵∠AED=2∠EAD， ∴∠EAD=15° ∴∠DAO=∠ADO=45°，

∵四边形ABCD是菱形； ∴∠DAB=90° ∴四边形ABCD是正方形.

点睛: 此题主要考查菱形和正方形的判定，要灵活应用判定定理及等腰三角形的性质、外角的性质定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一个角是直角的菱形是正方形；三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和.