Question

如图，已知直线y=kx+b与x轴交于A（8，0），与y轴交于B（0，6），点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PC⊥x轴，交直线AB于点C，以OA，AC为边构造□OACD，设点P的横坐标为m．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）若四边形OACD恰是菱形，请求出m的值；

（3）在（2）的条件下，y轴的上是否存在点Q，连结CQ，使得∠OQC+∠ODC=180°．若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，则说明理由．

Answer

（1）y=；（2）或；（3）Q1(0， ); Q,2(0，-24) ;Q,3(0， ).

【解析】（1）把点A（8，0），B（0，6）代入直线y=kx+b解方程可得；

（2）根据菱形的性质得到AC=2，由点C（m， m+1）得到AP=|2-m|，CP=+1，利用勾股定理列方程可得；

（3）由四边形OACD是菱形，得到对角相等，∠D=∠OAC，由于时Q在y轴上，所有四边形ACQO的对角互补，得到CQ⊥AC，求得直线CQ的解析式，求出Q点的坐标.

【解析】
（1）把点A（8，0），B（0，6）代入直线y=kx+b，

可得，解得，

∴直线AB的函数表达式为y=x+6

(2)①当m在OA上

由OA=AC

得10- =8

解得m=

②当m在OA延长线上

由OA=AC

得-10=8

解得m=

Q1(0， ); Q,2(0，-24) ;Q,3(0， ).

“点睛”本题为一次函数的应用，涉及待定系数法、菱形的性质、勾股定理及方程思想等知识，在（1）中注意待定系数的应用步骤，在（2）中利用菱形的性质得到C点坐标是解题的关键，在（3）中求得QC⊥AB是解题的关键.本题考查知识点多，综合性较强，难度适中.