Question

如图1，抛物线y=ax²﹣10ax+c经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，OA= 且AC=BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，将△AOC沿x轴对折得到△AOC₁，再将△AOC₁绕平面内某点旋转180°后得△A₁O₁C₂（A，O，C₁分别与点A₁，O₁，C₂对应）使点A₁，C₂在抛物线上，求A₁，C₂的坐标．

（3）如图3，若Q为直线AB上一点，直接写出|QC﹣QD|的取值范围．

Answer

（1）；（2）A1（16,0），C2(10，8)；（3）0≤ |QC﹣QD|≤12

【解析】（1）令x=0，求出C的坐标，根据对称求出B的坐标，由已知条件求出得A(-6，0),B(10，8),C(0，8)代入解析式即可求出解析式；（2）由抛物线的对称性得到：对称轴与x轴的交点M为对称中心，求出A1、C2的坐标；（3）根据若Q为直线AB上一点，即可写出|QC﹣QD|的取值范围．

【解析】
（1）由抛物线对称轴为x=5且BC∥x轴

得BC=10，由OA=且AC=BC．

得A(-6，0),B(10，8),C(0，8)

得y=

(2) 由抛物线的对称性得到：对称轴与x轴的交点M为对称中心，

根据对称性得到：C1M=C2M，AM=A1M，

得A1（16,0），C2(10，8)

(3)0≤ |QC﹣QD|≤12（注：少一个等于号扣1分）

“点睛”此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，利用待定系数法函数的解析式，点的坐标，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，线段的中点坐标公式，勾股定理，以及折叠、旋转的性质，利用了转化，分类讨论数形结合的思想，是一道综合性强、较难的题，要求学生作掌握知识要全面.