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如图,抛物线与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A、B,且B点的坐标为(2,...

如图,抛物线与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A、B,且B点的坐标为(2,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P是AB上的一个动点,过点P作PE∥AC交BC于点E,连接CP,求△PCE面积最大时P点的坐标;

(3)在(2)的条件下,若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,当△OMD为等腰三角形时,连接MP、ME,把△MPE沿着PE翻折,点M的对应点为点N,直接写出点N的坐标.

 

(1)抛物线的解析式为y=4; (2) 当P点的坐标为(-1,0)时, S△PCE的最大,且最大值为3; (3) M点关于PE的对称点N的坐标为(1,1)或(2,0). 【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)首先求出△PCE面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值;(3)△OMD为等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论. 【解析】 (1)把点C(0,﹣4),B(2,0)分别代入y=x2+bx+c中, 得, 解得 ∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4. (2)令y=0,即x2+x﹣4=0,解得x1=﹣4,x2=2, ∴A(﹣4,0),S△ABC=AB•OC=12. 设P点坐标为(x,0),则PB=2﹣x. ∵PE∥AC, ∴∠BPE=∠BAC,∠BEP=∠BCA, ∴△PBE∽△ABC, ∴,即, 化简得:S△PBE=(2﹣x)2. S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×(2﹣x)×4﹣(2﹣x)2 =x2﹣x+ =(x+1)2+3 ∴当x=﹣1时,S△PCE的最大值为3. (3)△OMD为等腰三角形,可能有三种情形:(I)当DM=DO时,如答图①所示. DO=DM=DA=2, ∴∠OAC=∠AMD=45°, ∴∠ADM=90°, ∴M点的坐标为(﹣2,﹣2); (II)当MD=MO时,如答图②所示. 过点M作MN⊥OD于点N,则点N为OD的中点, ∴DN=ON=1,AN=AD+DN=3, 又△AMN为等腰直角三角形,∴MN=AN=3, ∴M点的坐标为(﹣1,﹣3); (III)当OD=OM时, ∵△OAC为等腰直角三角形, ∴点O到AC的距离为×4=,即AC上的点与点O之间的最小距离为. ∵>2,∴OD=OM的情况不存在. 综上所述,点M的坐标为(﹣2,﹣2)或(﹣1,﹣3). “点睛”本题是二次函数综合题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点,以及分类讨论的数学思想.第(2)问将面积的最值转化为二次函数的极值问题,注意其中求面积表达式的方法;第(3)问重在考查分类讨论的数学思想,注意三种可能的情形需要一一分析,不能遗漏.  
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考点分析:
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我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”,例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P,像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索

(1)如图1,当∠ABE=45°,c=2时,a=_____________,b=_____________

如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a=_____________,b=_____________

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.

拓展应用

(3)如图4,在ABCD中,点E、F、G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=2,AB=3,求AF的长.

 

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数学李老师给学生出了这样一个问题:探究函数的图象与性质.小斌根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.下面是小斌的探究过程,请您补充完成:

(1)函数的自变量x的取值范围是__________;

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某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克,且10≤x≤18)之间的函数关系如图所示:

(1)求y(千克)与销售价z的函数关系式;

(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?

 

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某中学广场上有旗杆如图1所示,在学习解直角三角形以后,数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图2,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC4米,落在斜坡上的影长CD3米,ABBC,同一时刻,光线与水平面的夹角为72°,1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR2米,求旗杆的高度(结果精确到0.1米).(参考数据:sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)

 

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在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以点A为圆心,AB为半径,作⊙A交AC于点F,交BA的延长线于点D,过点D作AC的平行线交⊙A于点E,连接AE、CE,EF.

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⑵当∠CAB等于多少度时,四边形ADEF为菱形,并给于证明.

 

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