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我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”,例如图1,图2,图3中,A...

我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”,例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P,像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索

(1)如图1,当∠ABE=45°,c=2时,a=_____________,b=_____________

如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a=_____________,b=_____________

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.

拓展应用

(3)如图4,在ABCD中,点E、F、G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=2,AB=3,求AF的长.

 

(1)2,2,2,2;(2)猜想:a2+b2=5c2,证明见解析;(3)4. 【解析】 试题分析:(1)∵AF⊥BE,∠ABE=45°,∴AP=BP=AB=2,∵AF,BE是△ABC的中线,∴EF∥AB,EF=AB=,∴∠PFE=∠PEF=45°,∴PE=PF=1,在Rt△FPB和Rt△PEA中,AE=BF==,∴AC=BC=2,∴a=b=2,如图2,连接EF,同理可得:EF=×4=2,∵EF∥AB,∴△PEF~△ABP,∴,在Rt△ABP中,AB=4,∠ABP=30°,∴AP=2,PB=2,∴PF=1,PE=,在Rt△APE和Rt△BPF中,AE=,BF=,∴a=2,b=2,故答案为:2,2,2,2; (2)猜想:a2+b2=5c2,如图3,连接EF,设∠ABP=α,∴AP=csinα,PB=ccosα,由(1)同理可得,PF=PA=,PE==,AE2=AP2+PE2=c2sin2α+,BF2=PB2+PF2=+c2cos2α,∴=c2sin2α+, =+c2cos2α,∴+=+c2cos2α+c2sin2α+,∴a2+b2=5c2; (3)如图4,连接AC,EF交于H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为P,∵点E、G分别是AD,CD的中点,∴EG∥AC,∵BE⊥EG,∴BE⊥AC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=2,∴∠EAH=∠FCH,∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AE=AD,BF=BC,∴AE=BF=CF=AD=,∵AE∥BF,∴四边形ABFE是平行四边形,∴EF=AB=3,AP=PF,在△AEH和△CFH中,,∴△AEH≌△CFH,∴EH=FH,∴EQ,AH分别是△AFE的中线,由(2)的结论得:AF2+EF2=5AE2,∴AF2=5﹣EF2=16,∴AF=4. 考点:相似形综合题.  
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⑵当∠CAB等于多少度时,四边形ADEF为菱形,并给于证明.

 

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成绩x/分

频数

频率

50≤x<60

10

0.05

60≤x<70

20

0.10

70≤x<80

30

b

80≤x<90

a

0.30

90≤x≤100

80

0.40

请根据所给信息,解答下列问题:

(1)a=______,b=______

(2)请补全频数分布直方图;

(3)这次比赛成绩的中位数会落在_____________分数段;

(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人?

 

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