Question

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB为半径，作⊙A交AC于点F，交BA的延长线于点D，过点D作AC的平行线交⊙A于点E，连接AE、CE，EF．

⑴求证：CE⊥AE;

⑵当∠CAB等于多少度时，四边形ADEF为菱形，并给于证明．

Answer

（1）证明见解析；

（2）当∠CAB =60°多少度时，四边形ADFE为菱形，证明见解析.

【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作OA交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交OA于点F，连接AF、BF，DF．

【解析】
(1)证明：∵EF∥AB，

∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB．∵∠E=∠EFA ．∠FAB=∠CAB．

在△ABC和△ABF中，

AF=AC，∠FAB=∠CAB，AB=AB，

∵△ABG≌△ABF，∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF⊥AF．

(2)当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，

证明：∵∠ CAB=60°．

∴∠FAB=∠CAB=∠ CAB=60°．

∴EF=AD=AE．

∴四边形ADFE是菱形，

“点睛”本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大．