Question

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-4,0)、B(6,0）两点，与y轴交于点C．

(1)如图l，求抛物线的解析式；

(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接PC、PA，PA交y轴于点F，设点P的横坐标为t，△CPF的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接BC，过点P作PD//y轴变BC于点D，点H为AF中点，且点N(0，1)，连接NH、BH，将∠NHB绕点H逆时针旋转，使角的一条边H落在射线HF上,另一条边HN变抛物线于点Q，当BH=BD时，求点Q坐标．

Answer

（1）抛物线的解析式为；

（2）S与t的函数关系式为；

（3）点Q坐标为（4，8）.

【解析】试题分析：（1）直接用代入法求函数的解析式；（2）过点P作PR⊥y轴，交y轴于点R，过点P作PL⊥AB于点L，则点P(t, )，在Rt△PAL中，因为PL=AL= ，所以tan∠PAL=在Rt△FAO中，所以tan∠FAO= , 所以OF=12-2t，所以CF=CO- OF=12-（12-2t）=2t，所以 ；（3）延长PD交x轴于点L，取OA的中点K，连接HK,过点H作HG⊥y轴于点G，OF＝12-2t点H为AF的中点 HK ⊥OA ，所以HK=6-t=BL，因为HK=BL BH=BD ，所以△BHK≌△DBL ，所以BK=DL=8，直线BC的解析式为∴点D，DL=12-2t =8 t=2 ，所以点P（2，12），则点H（-2，4），tan∠AHK=tan∠HBK=，所以∠AHK=∠HBK ，∴∠AHB=90°，又因为∠NHB=∠PHQ ，所以∠NHQ=90°，过点Q作QM⊥HG于点M，所以∠HNG=∠QHM ，又因为点N（0，1），HG=2，所以GN=3，tan∠HNG=tan∠QHM =， ，设点Q(,) ，则QM=-4= ，所以HM= +2 ，所以 ，解得： ，所以 ∴点Q（4，8）；

试题解析：

（1）解∵抛物线过点A（-4，0），B（6，0）

解得

∴抛物线解析式为

（2）过点P作PR⊥y轴，交y轴于点R，过点P作PL⊥AB于点L，如图所示：

则点P(t, )，在Rt△PAL中

∵PL=AL=

∴tan∠PAL=

在Rt△FAO中，

∴tan∠FAO= ,

∴OF=12-2t

∴CF=CO- OF=12-（12-2t）=2t

∴

（3）延长PD交x轴于点L，取OA的中点K，连接HK,过点H作HG⊥y轴于点G，如图所示：

OF＝12-2t点H为AF的中点 HK ⊥OA

∴HK=6-t=BL

∵HK=BL BH=BD

∴△BHK≌△DBL

∴BK=DL=8

直线BC的解析式为

∴点D

DL=12-2t =8 t=2

∴点P（2，12）

∴点H（-2，4）

tan∠AHK=tan∠HBK=

∴∠AHK=∠HBK

∴∠AHB=90°

∵∠NHB=∠PHQ

∴∠NHQ=90°，

过点Q作QM⊥HG于点M，

∴∠HNG=∠QHM

∵点N（0，1），HG=2，

∴GN=3，tan∠HNG=tan∠QHM =，

设点Q(,)

QM=-4=

HM= +2

，

∴点Q（4，8）