Question

已知：△ABC内接于⊙0，连接AO并延长交BC于点D．

(l)如图l，求证：∠ABC+∠CAD=90°；

(2)如图2，过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB．求证：AC=2DE；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接BO交DE于点F，延长ED交⊙0于点G，连接AG，若AC= ，BF=OD，求线段AG的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）线段AG的长为

【解析】试题分析：（1）延长AD交⊙O于点M，连接MC，由AM为⊙O的直径得∠ACM=90°，所以∠AMC＋∠MAC=90°，根据∠ABC和∠AMC是同弧的所对的角，则有∠ABC=∠AMC，从而得到∠B＋∠CAD=90°；（2）过点O作OH⊥AC于H，连接BO，由=得到∠AOB=2∠ACB，又因为∠ADC=2∠ACB，所以∠AOB=∠ADC，∠BOD=∠BDO ，BD=BO 又因为∠BED=∠AHO 、∠ABD=∠AOH，所以△BDE≌△AOH，所以DE=AH ，又因为OH⊥AC ，AH=CH=AC ，所以AC=2DE ；（3）过点O作ON⊥EG于N, OT⊥AB于T连接OG, 因为 ，所以DE= ，又因为OA=OB，所以∠ABO=∠BAO，因为∠ABO＋∠BFE=90° ∠BAO＋∠ADE=90°，所以∠BFE=∠OFD=∠ODF ，所以OF=OD ，因为BF=OD ，所以OF=OD=BF，所以△BFE≌△OFN ，所以BE=ON EF=FN，又因为OF=OD ON⊥FD，所以EF=FN=ND=，因为BE=ON OG=BD ，所以△BED≌△NOG，所以ED=NG ，所以EG= ，又因为ON⊥EG OT⊥AB DE⊥AB ，所以四边形ONET为矩形 ，所以BE=ET=ON，因为OT⊥AB ，所以AT=BT AE=3BE，设AO=BD=r OD=r AD=r，因为在Rt△AED中 AE2=AD2-ED2 在Rt△BED中 BE2=BD2-ED2，则可求出AE=15 ，在△AEG中由勾股定理得AG= 或r=- (舍去) AE=15 ，在△AEG中由勾股定理得AG=

试题解析：

（1）证明：延长AD交⊙O于点M，连接MC，如图所示：

∵AM为⊙O的直径，

∴∠ACM=90°

∴∠AMC＋∠MAC=90°

∵=

∴∠ABC=∠AMC

∵∠AMC＋∠MAC=90° （已证）

∴∠B＋∠CAD=90°。

(2) 证明：过点O作OH⊥AC于H，连接BO，如图所示：

∵=

∴∠AOB=2∠ACB

∵∠ADC=2∠ACB

∴∠AOB=∠ADC

∴∠BOD=∠BDO

∴BD=BO

∵∠BED=∠AHO ∠ABD=∠AOH

∴△BDE≌△AOH

∴DE=AH

∵OH⊥AC

∴AH=CH=AC

∴AC=2DE

(3) 证明：过点O作ON⊥EG于N, OT⊥AB于T连接OG，如图所示：

∵

∴DE=

∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO

∵∠ABO＋∠BFE=90° ∠BAO＋∠ADE=90°

∴∠BFE=∠OFD=∠ODF

∴OF=OD

∵BF=OD

∴OF=OD=BF

∴△BFE≌△OFN

∴BE=ON EF=FN

∵OF=OD ON⊥FD

∴EF=FN=ND=

∵BE=ON OG=BD

∴△BED≌△NOG

∴ED=NG

∴EG=

∵ON⊥EG OT⊥AB DE⊥AB

∴四边形ONET为矩形

∴BE=ET=ON

∵OT⊥AB

∴AT=BT AE=3BE

设AO=BD=r OD=r AD=r

在Rt△AED中 AE2=AD2-ED2 在Rt△BED中 BE2=BD2-ED2

即

或r=- (舍去) AE=15

在△AEG中由勾股定理得AG=