Question

如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点在（3,0）和（4,0）之间．则下列结论： ①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（    ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

C

【解析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x= -1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x= =1，即b= -2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y= n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．

本题解析: ∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(−2,0)和(−1,0)之间.∴当x=−1时，y>0，即a-b+c>0，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x==1，即b=−2a，∴3a+b=3a−2a=a，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标为(1,n)∴,∴=4ac−4an=4a(c−n),所以③正确；

∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n−1有2个公共点，

∴一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，所以④正确。

故选C.

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数a决定抛物线的开口分向和大小；一次项系数b和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴的交点位置.