Question

如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：

（1）经过6秒后，BP=　　　　　　cm，BQ=　　　　　　cm；

（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？

（3）经过几秒△BPQ的面积等于cm²？

Answer

（1）BP=6cm．BQ=12cm，（2）6秒或秒（3）2秒

【解析】试题分析：（1）根据点P以每秒钟1cm的速度移动，点Q以每秒钟2cm的速度移动，可得经过6秒后，BQ=12cm，BP=6cm；（2）分∠PQB=90°和∠QPB=90°两种情况讨论即可；（3）作QD⊥AB于D，利用等边三角形的性质和勾股定理可得DQ=x，然后利用三角形的面积公式得出关于x的方程，然后解方程并检验即可.

试题解析：（1）由题意，得

AP=6cm，BQ=12cm，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=12cm，

∴BP=12﹣6=6cm．

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，

当∠PQB=90°时，

∴∠BPQ=30°，

∴BP=2BQ．

∵BP=12﹣x，BQ=2x，

∴12﹣x=2×2x，

解得x=，

当∠QPB=90°时，

∴∠PQB=30°，

∴BQ=2PB，

∴2x=2（12﹣x），

解得x=6．

答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；

（3）作QD⊥AB于D，

∴∠QDB=90°，

∴∠DQB=30°，

∴DB=BQ=x，

在Rt△DBQ中，由勾股定理，得

DQ=x，

∴=10，

解得x1=10，x2=2，

∵x=10时，2x＞12，故舍去，

∴x=2．

答：经过2秒△BPQ的面积等于10cm2．

考点：1.等边三角形的性质2.勾股定理3.一元二次方程.