Question

如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3，  若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（    ）

A.     B.     C.     D.

Answer

D

【解析】取DE的中点O，过点O作OG⊥MN于点G，作CH⊥AB于点H.

，当弦心距OG最短时，MN取最大值，所以当点C，O，G三点共线时，即当点O在CH上时，MN取最大值，连接OM.

因为CH==2.4，所以OH=2.4-1.5=0.9，而OM=1.5，

则在Rt△MOH中，由勾股定理得MH=1.2，根据垂径定理，MN=2MH=2.4.

故选D.

点睛：本题实质是求圆中的弦的最大值的问题，圆中弦的弦心距越小，弦越大，所以当弦MN的弦心距最小时，MN的值最大。直角三角形斜边上的高是一个定值，圆的半径也是一个定值，所以当点C，O，G三点共线时，弦心距OH最小，此时MN最大，再构造直角三角形，结合垂径定理，勾股定理则可解决问题。