Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AF=DC；

（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形ADCF是矩形，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；

若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．

试题解析：（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

在△AFE和△DBE中

∴△AFE≌△（AAS），

∴AF=BD，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

∴AF=DC．

（2）四边形ADCF是矩形，

证明：AF∥DC，AF=DC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AC=AB，AD是中线，

∴AD⊥DC，即∠ADC=90度

∴平行四边形ADCF是矩形．