Question

如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm. 射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；

（2）填空：当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；

Answer

（1）证明见解析（2）①6②1.5

【解析】试题分析：（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；

（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；

②分两种情况考虑：若CE⊥AG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的长度及时间t的值．

（1）证明：∵AG∥BC，

∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，

∵D为AC的中点，

∴AD=CD，

∵在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）【解析】
①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，

则此时的时间t=6÷1=6（s）；

②四边形AFCE为直角梯形时，

（I）若CE⊥AG，则AE=3，BF=3×2=6，即点F与点C重合，不是直角梯形．

（II）若AF⊥BC，

∵△ABC为等边三角形，

∴F为BC中点，即BF=3，

∴此时的时间为3÷2=1.5（s）；

故答案为：6；1.5．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；直角梯形．