Question

在平面直角坐标系xoy 中，反比例函数的图象与一次函数y₂＝ax＋b的图象交于点A（1，3）和B（－3，m）．

（1）求反比例函数和一次函数y₂＝ax＋b的表达式；

（2）点C 是坐标平面内一点，BC∥x轴，AD⊥BC 交直线BC 于点D，连接AC．若AC=CD，

求点C 的坐标．

Answer

(1)y=，y=x+2；（2）C(3,-1)或（-1，-1）

【解析】试题分析：（1）由点A在反比例函数图象上，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，由点B在反比例函数图象上，可求出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；

（2）由BC∥x轴结合点B的坐标可得出点C的纵坐标，再由点A的坐标结合AD⊥BC于点D，即可得出点D的坐标，即得出线段AD的长，在Rt△ADC中，由勾股定理以及线段AC、CD间的关系可求出线段CD的长，再结合点D的坐标即可求出点C的坐标．

试题解析：（1）∵反比例函数的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，3）和B（-3，m），

∴点A（1，3）在反比例函数的图象上，

∴k=1×3=3，

∴反比例函数的表达式为．

∵点B（-3，m）在反比例函数的图象上，

∴m=-1．

∵点A（1，3）和点B（-3，-1）在一次函数y2=ax+b的图象上，

∴，解得：

∴一次函数的表达式为y2=x+2．

（2）依照题意画出图形，如图所示．

∵BC∥x轴，

∴点C的纵坐标为-1，

∵AD⊥BC于点D，

∴∠ADC=90°．

∵点A的坐标为（1，3），

∴点D的坐标为（1，-1），

∴AD=4，

∵在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2，且AC=CD，

∴(CD)2＝42+CD2，解得：CD=2．

∴点C1的坐标为（3，-1），点C2的坐标为（-1，-1）．

故点C的坐标为（-1，-1）或（3，-1）．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求函数解析式；（2）通过解直角三角形求出线段CD的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．