Question

如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数过正方形AOBC对角线的交点，半径为()的圆内切于△ABC，则k的值为______。

Answer

4

【解析】试题解析：设正方形对角线交点为D，过点D作DM⊥AO于点M，DN⊥BO于点N；

设圆心为Q，切点为H、E，连接QH、QE．

∵在正方形AOBC中，反比例函数y＝经过正方形AOBC对角线的交点，

∴AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，

QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB=90°，

∴四边形HQEC是正方形，

∵半径为（4-2）的圆内切于△ABC，

∴DO=CD，

∵HQ2+HC2=QC2，

∴2HQ2=QC2=2×（4-2）2，

∴QC2=48-32=（4-4）2，

∴QC=4-4，

∴CD=4-4+（4-2）=2，

∴DO=2，

∵NO2+DN2=DO2=（2）2=8，

∴2NO2=8，

∴NO2=4，

∴DN×NO=4，

即：xy=k=4．

【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及三角形内切圆的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，根据已知求出CD的长度，进而得出DN×NO=4是解决问题的关键．