Question

如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为（4，2）．则点F的坐标是_________________

Answer

【解析】∵反比例函数的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），

∴k=2×4=8，

∴反比例函数的解析式为；

过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由题意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，

∴点C的坐标为C（8，4），

设OB=x，则BC=x，BN=8﹣x，

在Rt△CNB中， ，解得：x=5，

∴点B的坐标为B（5，0），

设直线BC的函数表达式为y=ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），

∴，

解得： ，

∴直线BC的解析式为，

根据题意得方程组，

解此方程组得： 或．

∵点F在第一象限，

∴点F的坐标为（6， ）．

故答案为：（6， ）

点睛：本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质和勾股定理．以反比例函数图象上点的坐标特征为切入点求出反比例函数解析式，利用菱形的性质并借助勾股定理求出点C、B的坐标是解题的关健，最后通过将反比例函数解析式与直线BC联立方程组即可得到点F的坐标.