Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的动点（不与点B，C，D重合），且∠EAF=45°，AE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，连接EH、EF，则下列结论：

① △ABH∽△GAH； ② △ABG∽△HEG； ③ AE=AH； ④ EH⊥AF； ⑤ EF=BE+DF

其中正确的有（     ）

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

Answer

D

【解析】①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，∵∠EAF=45°,

∴∠ABD=∠EAF,

又∵∠AHB=∠AHB,

∴△ABH∽△GAH. ∴①正确；

②∵∠DBC=∠EAF=45°,

∴A，B，E，H四点共圆，

∴∠ABH=∠AEH=45°，

又∵∠BGA=∠EGH,

∴△ABG∽△HEG, ∴②正确；

③∵∠HAE=∠AEH=45°,

∴△AEH为等腰直角三角形，

∴AE=AH，

∴③正确；

④由③得△AEH为等腰直角三角形，

∴EH⊥AF，

∴④正确；

⑤把△ABE逆时针旋转90∘得到△ADM，

∴BE=MD，AE=AM，

∵∠EAF=45∘，

∴∠FAM=90∘−45∘=45∘，

∴∠EAF=∠FAM，

在△AEF和△AMF中，

∴△AEF≌△AMF(SAS)，

∴EF=MF，

即EF=MD+DF，

∴EF=BE+DF；故⑤正确；

故选D.

点睛:在正方形条件下证明三角形相似,通常利用旋转的性质,等腰三角形的性质,角平分线性质,勾股定理等知识来证明;证明线段之间的数量关系和位置关系一般会利用全等三角形的判定与性质,正方形的性质等来解决.