Question

如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．

(1)作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O；(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)在(1)中，连接BE和DF，求证：四边形DEBF是菱形

Answer

（1）作图见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）分别以B、D为圆心，以大于 的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；（2）利用垂直平分线证得△DEO≌△BFO即可证得EO=FO，进而利用菱形的判定方法得出结论．

本题解析: (1)如图所示：EF即为所求；

(2)证明：如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，

∵EF垂直平分线段BD，∴BO=DO，

在△DEO和三角形BFO中，

∵

∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴EO=FO，

∴四边形DEBF是平行四边形，又∵EF⊥BD，

∴四边形DEBF是菱形。