Question

如图：抛物线y=ax²＋bx＋c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC＋OD，

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P（x,y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围,并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？

Answer

（1）抛物线解析式为y=－ (x－2)2＋6；（2）S=－x2＋4x，0＜x＜2＋2；当x=4时，S有最大值为8.

【解析】（1）∵OC=4，OD=2，∴ DM=6，

∴ 点M（2，6）

设y=a（x－2）2＋6，代入（0，4）得：a=－，

∴该抛物线解析式为y=－ （x－2）2＋6．

（2）设点P（x，－ （x－2）2＋6），即（x，－ x2＋2x＋4），过点P做x轴的垂线，交直线CD于点F，设直线CD为y=kx＋4，代入（2，0）得k=－2，即y=－2x＋4，

∴点F（x，－2x＋4）．

∴PF=－x2＋2x＋4－（－2x＋4）=－x2＋4x．

∴S=·2·（－x2＋4x）=－x2＋4x．

令y=a（x－2）2＋6=0，解得x 1=2＋2，x 2=2－2（舍去）

∴0＜x＜2＋2．

∵S=－x2＋4x=－ （x－4）2＋8，∴当x=4时，S有最大值为8．

点睛：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、配方法、二次函数的最值．