Question

如图：二次函数y=ax²＋bx＋c的图象所示，下列结论中：①abc＞0;②2a＋b=0;③当m≠1时，a＋b＞am²＋bm;④a－b＋c＞0;⑤若ax₁²＋bx₁=ax₂²＋bx₂，且x₁≠x₂，则x₁＋x₂=2，正确的个数为

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为x= =1，即b=﹣2a，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；

∵b=﹣2a，∴2a+b=0，所以②正确；

∵x=1时，函数值最大，∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm（m≠1），所以③正确；

∵抛物线与x轴的交点到对称轴x=1的距离大于1，∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，∴x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；

当ax12+bx1=ax22+bx2，则ax12+bx1+cax22+bx2+c，∴x=x1和x=x2所对应的函数值相等，∴x2﹣1=1﹣x1，∴x1+x2=2，所以⑤正确；

一共有3个正确，故选C．

点睛：本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．