Question

（8分）在ΔABC中，AB=AC

（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=__________

（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=__________

（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： _____________

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由.

Answer

（1）15° （2）20°（3）∠BAD=2∠EDC（4）是，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE=30°，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=75°，所以∠DEC=15°．

（2）同理，易证∠ADE=70°，所以∠DEC=20°．

（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）．

（4）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C，而B=∠C，所以∠BAD=2∠EDC．

【解析】
（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BAD=30°，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∴∠EDC=15°．

（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BAD=40°，

∴∠BAD=∠CAD=40°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=70°，

∴∠EDC=20°．

（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）

（4）仍成立，理由如下

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，

∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC

=2∠EDC+∠C

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C

∴∠BAD=2∠EDC．

故分别填15°，20°，∠EDC=∠BAD

考点：等腰三角形的性质．