Question

(12分)如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，⊙O的半径为3， 的长为π．

（1）直线CD与⊙O相切吗？说明理由。

（2）求阴影部分的面积．

Answer

（1）相切（2）

【解析】试题分析：(1)、首先连接OC，根据弧的长度得出∠BOC=60°，然后根据等腰三角形的性质得出∠D=∠CAD=30°，从而得出∠OCD=90°，即得出切线；(2)、根据题意得出∠AOC=120°，然后根据阴影部分的面积=扇形AOC的面积减去△AOC的面积得出答案.

试题解析：（1）相切。

理由：连接OC，设∠BOC的度数为n°，则=π，

解得n=60°，

∴∠A=∠BOC=30°，

∵AC=CD，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCD=180°﹣∠BOC﹣∠D=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）【解析】
作CH⊥OB于H，则CH=OC•sin60°=3×=，

∵∠BOC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴S阴影=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣×3×=．

点睛：本题主要考查的就是切线的性质与判定，扇形的面积计算，属于中等难度题型.同学们在解答切线问题的时候，我们首先必须要连接切点与圆心，作出辅助线，然后证明角度为90°得出切线.在很多题目里面我们还会用到平行线的性质得出切线，这个要根据具体的题目进行具体分析.在求扇形的面积时，我们一定要找到扇形所对的圆心角的度数，然后根据扇形的面积计算法则进行计算.