Question

已知：在平面直角坐标系中，抛物线（）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=―2 .

（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：

探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；

探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

             图1                               图2

Answer

（1）y＝−x2−x+3．D（-2，4）．（2）①当t=3时，W有最大值，W最大值=18．②存在．只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．

【解析】试题分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴是直线x=，且已知抛物线（）的对称轴为直线x=―2，故，可求出 a的值，即可写出抛物线的解析式和顶点坐标；（2）探究一：由抛物线的解析式可求x、y轴的交点的坐标，作轴于M，则，点，由＝可得，，当时，W有最大值，；探究二：分三种情况分析： ①当时，作轴于E，则，则，则， 则，又因为轴，轴， 则，则， ，，则此时有，又因为，即，此时，则，所以当时，存在点P1，使，此时P1点的坐标为（0，2）；②当时，则， 则，则，又因为，则，所以与不相似，此时点P2不存在；③当时，以AD为直径作，则的半径，圆心O1到y轴的距离，因为，所以与y轴相离，不存在点P3，使,
所以综合可得，只存在一点使与相似。

试题解析：

（1）∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴， 
∴，
∴；

（2）探究一：当时，W有最大值，
∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C， 
∴， 
∴，
当时，作轴于M，如图所示：

则，
∵， 
∴，
∵
，

∴
∴当时，W有最大值，，
探究二：存在，分三种情况： 
①当时，作轴于E，如图所示：

则， 
∴
∴， 
∴
∵轴，轴， 
∴，
∴， 
∴
∴，，
此时，又因为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，存在点P1，使，此时P1点的坐标为（0，2）；
②当时，则， 
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与不相似，此时点P2不存在；
③当时，以AD为直径作，则的半径，圆心O1到y轴的距离，∵，
∴与y轴相离，不存在点P3，使，
∴综上所述，只存在一点使与相似。